超常的學習能力

馮·諾依曼十幾歲時曾得到一位叫拉斯羅·瑞茲的頗有才華的老師的點撥。他的同學菲爾納在回憶小馮·諾依曼早期學習情況的信中說過：馮·諾依曼的非凡才華引起了瑞茲的注意，他感到馮·諾依曼有超凡的才能，幾年來，瑞茲竭盡全力輔導，而馮·諾依曼吸收知識之快，更是非常驚人。現在他感到，再由自己來培養馮·諾依曼，就會心有余而力不足了，必須提醒孩子的父母，采取新的方法。瑞茲認為：再按傳統的辦法教馮·諾依曼中學數學課程將是毫無意義的，應該接受大學教師的單獨的數學訓練。于是在寇夏克教授的指導下，由當時在布達佩斯大學當助教的菲克特對馮·諾依曼進行家庭輔導。

1914年夏天，約翰進入了大學預科班學習，是年7月28日，奧匈帝國借故向塞爾維亞宣戰，揭開了第一次世界大戰的序幕。由于戰爭動亂連年不斷，馮·諾依曼全家離開過匈牙利，以后再重返布達佩斯。當然他的學業也會受到影響。但是在畢業考試時，馮·諾依曼的成績仍名列前茅。

其后的四年間，馮·諾依曼在布達佩斯大學注冊為數學方面的學生，但并不聽課，只是每年按時參加考試。與此同時，1921年馮·諾依曼入柏林大學，1923年又進入瑞士蘇黎世聯邦工業大學學習化學
。1926年他在蘇黎世的獲得化學方面的大學畢業學位，通過在每學期期末回到布達佩斯大學通過課程
考試，他也獲得了布達佩斯大學數學博士學位。馮·諾依曼這種不參加聽課只參加考試的求學方式，在當時是非常特殊的，就整個歐洲來說也是完全不合規則的。但是這種不合規則的學習方法，卻又非常適合馮·諾依曼。

逗留在蘇黎世期間，馮·諾依曼常常利用空余時間研讀數學、寫文章和數學家通信。在此期間馮·諾依曼受到了希爾伯特和他的學生施密特和外爾的思想影響，開始研究數理邏輯。當時外爾和波伊亞兩位也在蘇黎世，他和他們有過交往。一次外爾短期離開蘇黎世，馮·諾依曼還代他上過課。聰明的智
慧加上得天獨厚的栽培，馮·諾依曼在茁壯地成長，當他結束學生時代的時候，他已經漫步在數學、物 理、化學三個領域的某些前沿。

1926年春，馮·諾依曼到哥廷根大學任希爾伯特的助手。1927～1929年，馮·諾依曼在柏林大學任兼職講師，期間他發表了集合論、代數和量子理論方面的文章。l927年馮·諾依曼到波蘭里沃夫出席數
學家會議，那時他在數學基礎和集合論方面的工作已經很有名氣。

在集合論與數學基礎研究方面有很多重要成果

1921年，馮·諾依曼通過“成熟”考試時，已被大家當作數學家了。 他的第一篇論文是和菲克特合寫的，是關于車比雪夫多項式求根法的菲葉定理推廣，注明的日期是1922年，那時馮·諾依曼還不滿18歲。 他的另一篇文章是討論一致稠密數列，是用匈牙利文寫的，從論文題目的選擇到證明方法的簡潔都顯示出馮·諾依曼掌握了代數的技巧，并對集合論具有很好的直覺，兩者的結合使他的工作具有很高的水平。 

1923年當馮·諾依曼還是蘇黎世的大學生時，發表了超限序數的論文。文章第一句話就直率地聲稱 “本文的目的是將康托的序數概念具體化、精確化”。他的關于序數的定義，現在已被普遍采用。

馮·諾依曼有一個很強烈愿望就是希望對公理化進行深入的探討。大約從l925年到l929年，他的大多數文章都在努力嘗試實現他的集合論公理化的思想，即便在理論物理研究中他是也如此。當時，他對集合論的表述處理，尤感不夠形式化，在他1925年關于集合論公理系統的博士論文中，開始就說“本文的目的，是要給集合論以邏輯上無可非議的公理化論述”。 

有趣的是，馮·諾依曼在論文中預感到任何一種形式的公理系統所具有的局限性，模糊地使人聯想到后來由哥德爾證明的不完全性定理。對此文章，著名邏輯學家、公理集合論奠基人之一的弗蘭克爾教授曾作過如下評價：“我不能堅持說我已把(文章的)一切理解了，但可以確有把握地說這是一件杰出
的工作，并且透過他可以看到一位巨人”。

1928年馮·諾依曼發表了論文《集合論的公理化》，是對上述集合論的公理化處理。該系統十分簡潔，它用第一型對象和第二型對象相應表示樸素集合論中的集合和集合的性質，用了一頁多一點的紙就寫好了系統的公理，它已足夠建立樸素集合論的所有內容，并借此確立整個現代數學。

馮·諾依曼的系統給出了集合論的也許是第一個基礎，所用的有限條公理，具有像初等幾何那樣簡單的邏輯結構。馮·諾依曼從公理出發，巧妙地使用代數方法導出集合論中許多重要概念的能力簡直叫人驚嘆不已，所有這些也為他未來把興趣落腳在計算機和“機械化”證明方面準備了條件。

20年代后期，馮·諾依曼參與了希爾伯特的元數學計劃，發表過幾篇證明部分算術公理無矛盾性的論文。l927年的論文《關于希爾伯特證明論》最為引人注目，它的主題是討論如何把數學從矛盾中解脫出來。文章強調由希爾伯特等提出和發展的這個問題十分復雜，當時還未得到滿意的解答。它還指出阿克曼排除矛盾的證明并不能在古典分析中實現。為此，馮·諾依曼對某個子系統作了嚴格的有限性
證明。這離希爾伯特追求的最終解答似乎是不遠了。但恰在此時，1930年哥德爾證明了不完全性定理
。定理斷言：在包含初等算術(或集合論)的無矛盾的形式系統中，系統的無矛盾性在系統內是不可證
明的。至此，馮·諾依曼只能中止這方面的研究。 

后來馮·諾依曼在對集合論本身的研究中還取得過一些成果，他在數學基礎和集合論方面的興趣一直延續到他生命的結束。