微積分學的發展

在十八世紀，無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進行的。不列顛數學家們在劍橋、牛津、倫敦、愛丁堡等著名的大學里傳授和研究牛頓的流數術，代表人有科茨、泰勒、麥克勞林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒發現的著名公式使人們有可能通過冪級數展開來研究函數；馬克勞林的《流數論》可以說是對微積分最早的系統處理，該書是為反駁伯克利主教《分析學家》一文而作，后者出于宗教的動機，對牛頓流數論中存在的無限小概念混亂提出了尖銳批評，引起了關于微積分基礎的論戰。

泰勒、馬克勞林之后，英國數學陷入了長期停滯、僵化的狀態。十八世紀初即已爆發的微積分發明權的爭論，滋長了不列顛數學家們濃厚的民族保守情緒，他們囿于牛頓的傳統，難以擺脫其迂回的幾何手法等弱點的束縛。與此相對照，在海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動下蓬勃發展起來。

推廣萊布尼茨學說的任務，主要由他的學生、瑞士巴塞爾的雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利兩兄弟擔當，而這方面最重大的進步則是由歐拉作出的。

歐拉于1748年出版了《無窮小分析引論》，這部巨著與他隨后發表的《微分學》、《積分學》標志著微積分歷史上的一個轉折：以往的數學家們都以曲線作為微積分的主要研究對象，而歐拉則第一次把函數放到了中心的地位，并且是建立在函數的微分的基礎之上。函數概念本身正是由于歐拉等人的研究而大大豐富了。

數學家們開始明確區分代數函數與超越函數、隱函數與顯函數、單值函數與多值函數等；通過一些困難積分問題的求解，諸如B函數、橢圓不定積分等一系列新的超越函數被納入函數的范疇；已有的對數、指數和三角函數的研究不僅進一步系統化，而且被推廣到復數領域。

在十八世紀，數學家們對于函數、導數、微分、連續性和級數收斂性等概念還沒有形成統一的見解，他們往往不顧基礎問題的薄弱而大膽前進。盡管如此，許多人對建立微積分的嚴格基礎仍作出了重要的嘗試。除了歐拉的函數理論外，另一位天才的分析大師拉格朗日采取了所謂“代數的途徑”。他在1797年出版的《解析函數論》一書中，主張用泰勒級數來定義導數，并以此作為整個微分、積分理論之出發點。

達朗貝爾則發展了牛頓的“首末比方法”，但用極限的概念代替了含糊的“最初與最終比”的說法。如果說歐拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趨勢，那么，達朗貝爾則為微積分的嚴格表述提供了合理的內核。19世紀的嚴格化運動，正是這些不同方向融會發展的結果。

數學與力學開始結合

數學同力學的有機結合，是十八世紀數學的另一個鮮明特征。這種結合，其緊密的程度為數學史上任何時期所不能比擬。幾乎所有的數學家都以巨大的熱情，致力于運用微積分新工具去解決各種物理、力學問題。

歐拉的名字同流體力學和剛體運動的基本方程聯系著；拉格朗日最享盛名的著作《分析力學》，“將力學變成了分析的一個分支”；拉普拉斯則把數學看作是研究力學天文學的工具，他的許多重要數學成果正是包含在他的五大卷《天體力學》中。

這種廣泛的應用成為新的數學思想的源泉，而使數學本身的發展大大受惠。一系列新的數學分支在十八世紀成長起來。

達朗貝爾關于弦振動的著名研究，導出了弦振動方程及其最早的解，成為偏微分方程論的發端。另一類重要的偏微分方程——位勢方程，主要通過對引力問題的進一步探討而獲得。與偏微分方程相聯系的一些較為深入的理論問題也開始受到注意。

拉格朗日發展了解一階偏微分方程的一般理論；對不同類型的二階方程的研究還促使歐拉、達朗貝爾等具備了將函數展為三角級數的概念。

常微分方程的研究進展更為迅速。三體問題、擺的運動及彈性理論等的數學描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三體問題最為重要，二階常微分方程在其中扮演了中心角色。

數學家起先是采用各種特殊的技巧對付不同的方程，但漸漸地開始尋找帶普遍性的方法。這樣，歐拉推廣了約翰第一·伯努利的積分因子和常數變易法；黎卡提在以他的名字命名的非線性方程的研究中，首創了后來成為處理高階方程主要手段的降階法；泰勒最先引起人們對奇異解存在性的注意；歐拉在1750年解出了一般的常系數線性方程，他還引進超幾何級數作為解二階線性方程的基礎；對全微分方程的研究亦由歐拉、拉格朗日和蒙日等開展起來。

變分法起源于最速降曲線問題和相類似的一些問題，它的奠基人是歐拉。所謂“最速降曲線”問題，是要求出兩點間的一條曲線，使質點在重力作用下，沿著它由一點至另一點的降落最快。這問題在1696年被約翰第一·伯努利提出來向其他人挑戰，牛頓、洛必達和伯努利兄弟不久都分別獲得了正確的解答。

歐拉自1728年開始以他特有的透徹精神重新考察了最速降曲線等問題，最終確立了求積分極值問題的一般方法。歐拉的方法后來又為拉格朗日所發展，拉格朗日首先將變分法置于分析的基礎上，他還充分運用變分法來建造其分析力學體系，全部力學被他化歸為一個統一的變分原理——虛功原理。

這些新的分支與微積分本身一起，形成了被稱之為“分析”的廣大領域，與代數、幾何并列為數學的三大學科，在十八世紀，其繁榮程度遠遠超過了代數與幾何。

十八世紀的數學家們不僅大大拓展了分析的疆域，同時賦予它與幾何相對的意義，他們力圖用純分析的手法以擺脫對于幾何論證的依賴，這種傾向成為十八世紀數學的另一大特征，并且在歐拉和拉格朗日的工作中表現得最為典型。

拉格朗日在《分析力學》序中宣稱：“在這本書中找不到一張圖，我所敘述的方法既不需要作圖，也不需要任何幾何的或力學的推理，只需要統一而有規則的代數(分析)運算”。

虛數在十八世紀數學中的重要性增加了，達朗貝爾關于一切虛數都有形式a+bi的斷言，被大多數同時代的學者所接受(雖然他的論證并不嚴格)；丹麥的韋塞爾提出了虛數的圖像表示法，這一切為19世紀復變函數論的發展奠定了基礎。

數學教育的發展

十八世紀的數學研究活動，大部分是與歐洲各國的科學院相聯系，尤其是大陸國家的科學院。它們不僅是評議研究成果，促進科學通訊，而且掌握著聘用專門成員的財政經費。

萊布尼茨1700年創立的柏林科學院，在普魯士國王弗里德里克時代曾擁有歐拉和拉格朗日為院士；歐拉其余的生涯是在彼得堡科學院奉職；拉格朗日在弗里德里克死后被路易十六請到巴黎。而巴黎科學院也許是十八世紀歐洲最重要的學術中心，與它相聯系的法國最卓越的數學家還有克萊羅、達朗貝爾、孔多塞、拉普拉斯、蒙日以及勒讓德等。

這種主要靠宮廷支持的科學院，在推動數學研究職業化方面起了一定的但卻是有限的作用。在十八世紀的晚期，人們開始注意并努力改變大學中數學教育與研究分離、脫節的現象。

哥廷根大學最先強調教學與研究的結合，但對當時的數學并未發生影響。真正的沖擊來自法國。法國大革命時期建立的巴黎綜合工科學校和巴黎高等師范學校，不僅提供為培養工程師和教師所必需的數學教育，對數學研究也給予同樣的重視，它們作為新型的科學教育和研究機構的典范，對19世紀數學研究職業化運動有極大的影響。

社會政治對十八世紀數學發展的影響值得注意。十八世紀數學研究活動中心的轉移，明顯地與資產階級革命中心的轉移現象相吻合。英國學術界的保守氣氛，同擁教保王的政治環境不無關系，而在啟蒙思想熏陶下的法國學派，卻自覺地接過了發展牛頓自然科學理論的任務。

法國大革命本身提供了社會變革影響數學事業的例證。這個國家當時最優秀的數學家，幾乎都被革命政權吸收到度量衡改革、教育改革、軍事工程建設等活動中去。

對于數學發展特別重要的是他們在新成立的巴黎綜合工科學校與巴黎高等師范學校中的作用。拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒讓德等均受聘出任那里的數學教授，蒙日還是綜合工科學校的積極創建者并兼校長。他們的任職，使這兩所學校特別是綜合工科學校成為新一代數學家的搖籃，如柯西和泊松都是畢業于綜合工科學校。

這些學校為適應培養新人才的需要而采用的數學新教材，釀成了“教科書的革命”，其中勒讓德的《幾何學基礎》、蒙日的《畫法幾何學》、拉克魯瓦的《微積分學》以及畢奧和勒弗朗索瓦的解析幾何教程，都是反復再版，并被譯成了多國語言。在法國所進行的改革，到19世紀初即已擴及旁國特別是德國，并刺激了英國數學的復蘇，成為數學發展新時代的序幕。